Tajemnice liczby π

Nie ma nieciekawych liczb. Jednak na liście faworytów plasują się zazwyczaj wciąż te same : π, e oraz i. Najsławniejszą z nich jest zdecydowanie π – bohaterka dzisiejszego artykułu.

Na początek ustalmy, czym jest właściwie liczba π . (Chyba nikt z Was nie pomyślał o 3,14?)
Wartość liczbowa π  to 3,14159…, ale taka informacja niewiele wnosi. π  to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Jest to zawsze ta sama liczba dla każdego koła, niezależnie od jego wielkości.
Oznaczenie symbolu π (greckiej litery, prawdopodobnie skrótu od słowa „obwód”) wprowadził William Jones dopiero w 1706 roku, a spopularyzował Leonhard Euler w swoich pracach.

Najstarsze przybliżenia π ustalili Babilończycy (3,125) i Egipcjanie (3,160). Natomiast do błyskotliwego sposobu uchwycenia liczby π (metody aproksymacji) doszedł człowiek, który wziął najsłynniejszą kąpiel na świecie, czyli Archimedes.

750px-Archimedes_pi.svgŹródło: wikipedia.pl

 

 

 

 

Archimedes narysował najpierw koło, a następnie skonstruował 2 sześciokąty- jeden dopasowany do wewnątrz koła, a drugi na zewnątrz. Niech średnica koła wynosi 1. Wówczas połowa obwodu sześciokąta wewnętrznego wynosi 3. Wielkość ta jest mniejsza od połowy obwodu koła, równej π, która z kolei jest mniejsza od połowy obwodu sześciokąta zewnętrznego, czyli 2V3 (sprawdź to!). Takie szacowanie umiejscawia nam π w przedziale 3 a 3,46.
Archimedes zaczął od sześciokąta i konsekwentnie zwiększał liczbę boków do 12, 24, 48, by zakończyć na 96. Pozwoliło mu udowodnić, że:

Bez tytułu

 

 

 

 

Przekłada się to na 3,14084 <π  < 3,14289, co daje dokładność do 2 miejsc po przecinku.
Urok przedstawionego tu obliczenia polega na rachunku nieskończoności. W granicy, gdy liczba boków wielokąta staje się nieskończona, dostajemy coraz dokładniejsze szacowania.
Poszukiwacze π nie mieli jednak zamiaru na tym poprzestać. Ludolph van Ceulen wykorzystał wielokąt o 60∙ 2^69 bokach, by wyznaczyć π  do 20 miejsc po przecinku. Silne pragnienie spowodowało, że później obliczył π do 32, a następnie do 35 cyfr po przecinku, które wyryto na jego nagrobku. W Niemczech liczbę  nazywa się die Ludolphsche Zahl, czyli ludolfiną.
W kolejnych latach rozpoczął się prawdziwy wyścig i bicie rekordów w obliczaniu liczby π. Metodę wielokątów zastąpiono szeregami nieskończonymi, kalkulatorami, metodą Buffona, a później komputerami. Były to spore osiągnięcia, ale zupełnie bezużyteczne. Nie chodziło jednak o zastosowania praktyczne, tylko o samą pogoń za cyframi. Obecny rekord (2011 rok) to ponad 10 bilionów cyfr po przecinku.

Jedno wiemy na pewno. Nigdy nie poznamy wszystkich cyfr. W 1767 roku matematyk Johann Heinrich Lambert udowodnił, że π  jest niewymierne. Nie ma zatem żadnej oczywistej prawidłowości w odkrywaniu kolejnych cyfr liczby π. Pojawiają się one w sposób przesądzony z góry, ale chaotyczny. Niemniej jednak zaobserwowano kilka zaskakujących faktów! Pierwsze 0 pojawia się dopiero na 32. miejscu. Pierwsze 6 powtórzonych kolejno cyfr to 999999 na 762. miejscu po przecinku. Następna szóstkach identycznych cyfr występuje na 193 034. miejscu  i znowu są to dziewiątki. Prawdopodobieństwo takich wystąpienia  przy rozkładzie losowym jest naprawdę bardzo małe.
Mimo wszystko π wydaje się być normalną liczbą. A przynajmniej wskazują na to statystyki, dotyczące pierwszych 200 miliardów cyfr, z których wynika, że każda cyfra pojawia się ze zbliżoną częstością.
Kolejny kamieniem milowym był dowód Ferdinanda von Lindemann o przestępności π . (Liczba przestępna to liczba niewymierna, której nie da się opisać równaniem o skończonej liczbie wyrazów.) Rozstrzygnięto w ten sposób jeden z problemów delijskich. Kwadratura koła polega na skonstruowaniu (przy użyciu wyłącznie  cyrkla i linijki) kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Z faktu, że  również jest przestępne wynika, że kwadratura koła jest niemożliwa. (Dlaczego?)

Liczba π awansowała do rangi symbolu kulturowego. Dnia 14 marca wiele amerykańskich i polskich szkół obchodzi Dzień Liczby Pi.
Jej rozwinięcie to doskonały materiał ćwiczeniowy z zapamiętywania. Obecny rekord świata należy do 60-letniego Akiry Haraguchiego, który wyrecytował π do 100 000 cyfr po przecinku. Występ trwał 16 godzin i 28 minut i obejmował pięciominutowe przerwy co dwie godziny. Akira posłużył się metodą mnemotechniki, która polega na reprezentowaniu cyfr przez słowa o określonej liczbie liter. Poprzeczkę podniósł Mats Bergsten, który wyrecytował 9778 cyfr, żonglując jednocześnie trzema piłeczkami.
Obecność  można zaobserwować także w literaturze. Nawet nasza noblistka Wisława Szymborska poświęciła jej swój wiersz, zatytułowany „Liczba Pi”. Bardzo popularne są również „pi-ematy”, pisane z formalnym wymogiem , aby liczba liter w słowach odpowiadała cyfrom rozwinięcia dziesiętnego π. Żadna inna liczba nie doczekała się własnego gatunku literackiego!
Liczbę π  zobaczymy także na wielkim ekranie w filmie Darrena Aronofsky’ego- „Pi”.
Co więcej, w Internecie możecie sprawdzić, gdzie w rozwinięciu dziesiętnym liczby π występuje Wasza data urodzin.

Na temat  można by powiedzieć wiele, a jeszcze więcej zostało do odkrycia! Kto wie, może po 10^20 cyfr rzeczywiście są same zera i jedynki?

 

Justyna Merta

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *