Magia liczb Fibonacciego

Czas na kolejną porcję naszej ukochanej matematyki. Dzisiejszy artykuł powinien przypaść do gustu biologom, ponieważ zajrzymy do świata roślin i zwierząt.
W dziele pt. „Liber Abaci” z 1202r. Leonardo z Pizy zamieścił takie oto zadanie:
Ile par królików może sprowadzić na świat jedna para w ciągu roku, jeśli: 1) każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, a ta nowa para staje się płodna w następnym miesiącu; 2) króliki nie zdychają?


Odpowiedź przedstawiona jest w tabeli:

 

Bez tytułu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sumy par miesiąc po miesiącu stanowią ciąg Fibonacciego– jeden z najsłynniejszych ciągów w matematyce. Ważną cechą tego ciągu jest rekurencyjność. Ciąg Leonarda Fibonacciego zaczyna się od 0,1, a każdy następny wyraz ciągu jest sumą dwóch poprzednich. Charakteryzuje się pasjonującymi własnościami matematycznymi, które potrafią zadziwiać!

Liczby Fibonacciego tradycyjnie zapisuje się za pomocą litery F z indeksem dolnym oznaczającym miejsce danej liczby w ciągu:

 

 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Spójrzmy na co trzecią liczbę F (F3, F6, F9,…). Wszystkie są podzielne przez 2. Porównajmy to z F4, F8, F12,…, czyli co czwarta liczbą F- wszystkie są podzielne przez 3. Co piąta liczba F jest podzielna przez 5; co szósta liczba F dzieli się przez 8; a co siódma przez 13. Dzielniki tych liczb są niczym innym, jak kolejnymi liczbami F w ciągu!

Podnieśmy teraz do kwadratu kilka pierwszych liczb Fibonacciego. Jeśli dodamy do siebie ich kwadraty dzieje się coś nieoczekiwanego- otrzymujemy nieparzyste wyrazy ciągu!
Spróbujmy więc dodać kilka kwadratów pierwszych liczb ciągu. Z pewnością nie są to liczby Fibonacciego, ale gdy rozłożymy je na czynniki, czy zauważacie coś znajomego?
Zapewniam Was, że ciąg Fibonacciego kryje w sobie jeszcze parę innych wzorów.

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na początku XVII astronom Johannes Kepler napisał, że: „Jak 5 ma się do 8, tak 8 ma się w przybliżeniu do 13, i jak 8 ma się do 13, tak 13 ma się w przybliżeniu do 21”. Innymi słowy, zauważył, że proporcje kolejnych liczb F są podobne. Wiek później matematyk Robert Simson dostrzegł coś bardziej niesamowitego. Mianowicie, wartości tych wyrazów coraz bardziej zbliżają się do niewymiernej fi.
Liczbę tę nazywa się złotym podziałem i wynosi w przybliżeniu 1,618. Inne synonimy to także: złota liczba, złota proporcja, boska proporcja lub po prostu φ, czyli fi. Liczba ta fascynuje matematyków, naukowców i artystów od wieków.

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie byłoby to jednak tak nadzwyczajne, gdyby nie obecność liczb Fibonacciego i fi w świecie. Szczególne upodobanie do tych liczb ma natura. Liczba płatków w większości kwiatów jest liczbą Fibonacciego:

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Liczby Fibonacciego występują również w spiralnych układach prawoskrętnych i lewoskrętnych. Ananasy mają zwykle 5 i 8 spiral lub 8 i 13. Szyszki świerkowe najczęściej mają 8 i 13 spiral. Słoneczniki mogą mieć 21 i 34 spirale lub 34 i 55 spiral, choć znaleziono też okazy liczące 144 i 233 spirale.

Jednak to nie koniec interesujących wieści ze świata przyrody. Kiedy roślina wzrasta, musi wypuszczać liście z łodygi w taki sposób, aby na każdy z nich padało jak najwięcej światła. Domyślacie się przy jakim kącie wyrastające liście nachodzą na siebie w najmniejszym stopniu? Odpowiedź brzmi: przy kącie 137,5 stopnia, nazywanym złotym kątem. Można go uzyskać po podzieleniu koła na dwa kąty. Wówczas proporcja większego kąta do mniejszego wynosi φ. (Sprawdźcie!)

Rozpowszechnienie złotej proporcji jest zdumiewające! Liczba fi określa piękno idealnego uśmiechu. Bowiem siekacz przyśrodkowy powinien być szerszy od siekacza bocznego właśnie o czynnik fi. Złoty podział znajdziemy również w kwiecie, pawim piórze, sukience, dziełach sztuki, architekturze, samochodzie marki Fiat, skrzydłach motyla, a nawet w odczycie EKG serca zdrowego człowieka. Nie da się ukryć, że boska proporcja jest często spotykana.
Czy Wy także potraficie wskazać liczby Fibonacciego albo φ w swoim otoczeniu?

 

„Matematyka jest delikatnym kwiatem, który rośnie nie na każdej glebie i zakwita nie wiadomo kiedy i jak.”
Jean Fabre

 

Justyna Merta

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *