Dowody i dowodziki

          Zadanie „Wykaż, że…” na sprawdzianie, przyprawia większość uczniów o zawroty głowy. Pozostali udają, że takiego w ogóle nie ma. Trudno się dziwić. Dowodzenie twierdzeń to jedna z trudniejszych do opanowania umiejętność, wymagająca wieloletniej praktyki i tysięcy rozwiązanych zadań. Problemy matematyczne od zawsze fascynowały matematyków. Ale zacznijmy od początku… Aksjomat to zdanie, które jest przyjmowane bez dowodu, zwykle dlatego, że jest oczywiste. Euklides
z pięciu podstawowych aksjomatów zdołał stworzyć imponujący zbiór twierdzeń nie do podważenia. Płynnie przechodząc od jednego twierdzenia do drugiego, korzystając tylko z ołówka, linijki i cyrkla, ukazywał piękno i porządek w matematyce. Wszystkie 465 twierdzeń podsumowujących całą ówczesną wiedzę Greków zawarł w swoim arcydziele zatytułowanym „Elementy”. W 430 r. p.n.e., kiedy Ateny dotknęła epidemia Grecy udali się do wyroczni w Delos i otrzymali poradę, aby podwoić wielkość ołtarza Apollina, mającego kształt sześcianu. Szybko się jednak zorientowali, że nie da skonstruować sześcianu o dwukrotnie większej objętości niż dany sześcian, mając do dyspozycji tylko cyrkiel i linijkę. Zagadka ta jest jednym z trzech klasycznych problemów starożytności, znanych pod nazwą problemy delijskie, których nie da się rozwiązać za pomocą przyborów Euklidesa.
Drugim jest kwadratura koła, czyli konstrukcja kwadratu o takiej samej powierzchni jak dane koło oraz trysekcja kąta, czyli podział kąta na trzy równe części. Udowodnienie tego twierdzenia zajęło matematykom ponad 350 lat. Mowa oczywiście o Wielkim Twierdzeniu Fermata, które brzmi następująco: dla liczby naturalnej nie istnieją takie dodatnie liczby naturalne a,b, c, które spełniałyby równanie
a^(n )+ b^n= c^n. (Zauważmy, że dla n=2 równanie ma swoją nazwę. Jaką? )
XVII-wieczny matematyk francuski Pierre de Fermat zapisał owe twierdzenie na marginesie książki „Arithmetica” Diofantosa, opatrując uwagą: „ Znalazłem istotnie zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale brak tu miejsca, aby go umieścić”. Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w 1994 roku. Była to jedna z największych sensacji naukowych XX wieku.
Proszę się jednak nie obawiać. W dzisiejszych czasach nadal jest jeszcze wiele do udowodnienia. Największe zagadki matematyki stanowią siedem problemów milenijnych, ogłoszonych 24 maja 2000 roku przez Instytut Matematyczny Claya
w USA. Za rozwiązanie każdego z nich wyznaczona jest nagroda- skromne milion dolarów. Wszystkie niezwykle ważne dla współczesnej matematyki. Do dziś rozwiązano tylko jeden problem. Prawdziwość hipotezy Poincarégo, po ponad stuletnich zmaganiach, potwierdził w 2006 roku Grigorij Jakowlewicz Perelman. Rosyjski matematyk został laureatem medalu Fieldsa (odpowiednik nagrody Nobla dla matematyków), później przyznano mu jedną z siedmiu Nagród Tysiąclecia. Jednak Perelman odmówił przyjęcia nagród i zniknął ze sceny naukowej. Wydarzenia te, owiane tajemnicą i fakt, że matematycy często poświęcali całe życie, aby rozwikłać hipotezę Poincarégo, sprawiły, że nazywana jest przeklętą. Jednakże największym osiągnięciem nauki XX wieku jest twierdzenie Gödel’a, które brzmi: „Całej prawdy nigdy nie poznacie”. Kurt Gödel podał dowód twierdzenia, że matematyka jest niezupełna. Oznacza to, że istnieją problemy matematyczne, których nikt nigdy nie udowodni. Jest jeszcze gorzej. Dopóki nie obalimy lub nie udowodnimy słuszności danego twierdzenia, nie mamy pewności, że jest to w ogóle możliwe. I nic nie możemy na to poradzić.

Justyna Merta

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *