Liczydło

„Liczydło 2015”

I Wiosenny Obóz Matematyczny w Szczyrku

zbiorek 

Tego w „Jedynce” jeszcze nie było!
W dniach 26.03-1.04.2015 odbył się tygodniowy obóz matematyczny, na którym gościliśmy Matematyka z Oxfordu! Miejsce docelowe- Szczyrk– nie jest przypadkowe. O tym, że matematyka i górska włóczęga to doskonałe połączenie, przekonali się uczestnicy obozu- uczniowie klasy 3B.

Tematem przewodnim codziennych zajęć było hasło: „ A dni do matury czterdzieści i cztery”. Pomiędzy ćwiczeniami i wykładami obozowicze musieli zmierzyć się z wylosowanymi wcześniej zadaniami.

Rezultat? W ciągu pięciu dni rozwiązano 240 niebanalnych zadań z matematyki na poziomie rozszerzonym! Cel został osiągnięty. Uczniowie spisali się znakomicie. Jesteśmy zdumieni ogromem pracy, jaki wykonali i gratulujemy prawidłowych rozwiązań. Wyniki zmagań obozowiczów stanowić będą „I Księgę Szczyrkowską”.

Gościem specjalnym tegorocznego „Liczydła” był absolwent naszego liceum, dr. Michał Przykucki z Mathematical Institute University of Oxford, który swoim wykładem z teorii liczb zabrał nas do świata matematyki wyższej. Rozprawy o trójkach pitagorejskich, liczbach pierwszych i bliźniaczych były prawdziwą ucztą dla umysłu!

O aktywny wypoczynek zadbał pan Marek Czaiński, nasz drugi opiekun i przewodnik turystyczny. Zachwyciły nas urokliwe zakątki Szczyrku i spacer nad Żylicą. Piękne widoki, w pełnym słońcu, podziwialiśmy ze Skrzycznego, najwyższego szczytu w Beskidzie Śląskim.

Naszą bazą był Ośrodek Szkoleniowo-Wypoczynkowy „Beskidek”, położony w centrum Szczyrku, który zapewnił nam wspaniałe warunki do pracy i wypoczynku.

 

Obóz Matematyczny „Liczydło 2015”, który wspólnie z Panem Dyrektorem Robertem Przykuckim zorganizowaliśmy, to pierwszy taki projekt edukacyjny w naszej szkole! Jedną z akcji promujących wydarzenie był konkurs rysunkowy pod nazwą „Liczydło”, przeprowadzony w Przedszkolu Miejskim nr 20. Co więcej, starannie opracowane zadania, z którymi walczyli uczestnicy obozu, zamieściliśmy w zbiorze „Liczydło. Zadania maturalne z matematyki”(premiera 23 kwietnia!). Zbiór jest naszą propozycją ostatniej powtórki przed maturą. Dochód ze sprzedaży zostanie w całości przekazany na organizację przyszłych „Liczydeł”!

Przygotowania do obozu trwały miesiącami. Ale dziś wiemy, że było warto!

 

Kolejne „Liczydło” za rok! Czekamy na Was! 🙂

 11180166_881874658552677_1790944136_n

Justyna Merta

Matematyka mnie bawi

Matematyka to nie tylko wzory, żmudne obliczenia i skomplikowane równania, jak się może niektórym wydawać. To także wiele zabaw i ich zaskakujących rozwiązań! Dlatego dziś trochę o RADOŚCIACH MATEMATYKI! 🙂

Przypomnijmy zagadkę z poprzedniego artykułu:

za

źródło: „I Ty zostaniesz matematykiem” David Wells

Czy jest możliwe uwolnienie jednej z pętli elastycznej bryły, jaką są „kajdanki”?
Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie tego problemu daje nam topologia, czyli „gumowa geometria”. Jest to dział matematyki zajmujący się badaniem własności, które nie ulegają zmianom w trakcie deformacji. Okazuje się, że po wykonaniu poniższych sekwencji ruchów, udaje się rozdzielić koliste pętle. Zdumiewające!

1 001

Istnieje mnóstwo gier, zabaw, zagadek, pytań, problemów, na które odpowiedź daje właśnie MATEMATYKA!

Najciekawsze są oczywiście paradoksy, które wzbudzają wiele emocji! Ich rozwiązania, często nieintuicyjne, uderzają w poczucie zdrowego rozsądku. Szczerze mówiąc, rachunek prawdopodobieństwa nie zostaje daleko w tyle!

Poniżej przedstawiam Wam 5 zadań, z którymi miałam okazję się kiedyś zetknąć. Czy to na lekcjach fizyki, wykładzie z analizy, czy podczas rozmów z przyjaciółmi. Wszystko to odbywało się dla ROZRYWKI!

Zapewniam, że wybór zadań nie jest przypadkowy. Zgadywanie absolutnie nie jest kluczem do sukcesu. Pamiętajcie, to czysta matematyka! 🙂

5 zadań, które sprawią Wam wiele radości:

  1. Pewnego dnia ojciec, rzekł do swoich trzech synów: „Podaruję wam część swoich owieczek. Mój najstarszy syn dostanie połowę, młodszy czwartą ich część, a najmłodszy piątą ich część, po czym wyprowadził 19 owieczek. Synowie chcieli się szybko podzielić, ale trafili na problem, ponieważ 19 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 4, ani przez 5. Zwrócili się więc do ojca po pomoc, a ten błyskawicznie rozwiązał ich problem… Jak? (Owieczek oczywiście nie dzielimy na części!!!).
  2. Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, kiedy dziadek miał tyle ile babcia ma teraz. Ile lat mają babcia i dziadek?
  3. Załóżmy, że Ziemia jest gładką kulą, a jej obwód na równiku wynosi 40 000 km. Gdyby ją szczelnie opasano na równiku cienkim drutem, to jego długość powinna wynosić właśnie 40 000 km. Przyjmijmy, że długość tego cienkiego drutu zwiększono o 20 m. Wskutek tego odstawałby on od powierzchni Ziemi na pewną odległość. Czy pod drutem przeszedłby człowiek? Czy prześliznęłaby się mysz?
  4. Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak w nieskończoność. Kiedy Achilles dogoni żółwia?
  5. Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek. Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta), po czym proponuje graczowi zmianę wyboru. Co powinien zrobić nasz gracz?

 

Zadania nie są trudne. Są ciekawe. Każdy z Was może je zrobić!

Czekam zatem na Wasze odpowiedzi!

Radości matematyki to dobry temat kończący moją działalność w Zajawce. Mam nadzieję, że wspólna podróż do świata MATEMATYKI przypadła Wam do gustu i nie był to czas stracony!

„Nie można sobie wyobrazić większego umysłowego szczęścia, bardziej spokojnego i czystego, niż powolne i radosne zanurzenie w problemie matematycznym.”
~ Christopher Morley

Justyna Merta

Mniejsze i większe nieskończoności

Nieskończoność to jedno z najbardziej obezwładniających pojęć w matematyce, uderzające w poczucie naszego zdrowego rozsądku. Najpopularniejszy symbol nieskończoności (inaczej lemniskata), został wprowadzony przez Johna Wallisa w 1655 roku.

Nieskończoność zawiera wiele zagadek. Jedną z nich jest paradoks Galileusza. Galileusz zauważył, że wśród liczb naturalnych są liczby będące kwadratami , jak 1,4,9,16 oraz te, które kwadratami nie są, czyli 2,3,5,6. Zatem zbiór liczb naturalnych musi być większy niż zbiór kwadratów. Mimo to, każdej liczbie naturalnie możemy przypisać jej kwadrat:

Bez tytułu

Stąd, w rzeczywistości jest tyle samo kwadratów, ile liczb. Zbiory te są równoliczne. A to prowadzi do sprzeczności z wcześniejszymi rozważaniami.

Najdziwniejsze aspekty nieskończoności ujawniły się w drugiej połowie XIX wieku dzięki badaniom Georga Cantora nad teorią zbiorów. Moc zbioru to liczba elementów danej kolekcji liczb. Cantor wprowadził nowy symbol na oznaczenie nieskończoności   jk
(alef zero) i powiedział, że taka jest moc zbioru liczb naturalnych. Ku powszechnemu zdziwieniu odkrył, że niektóre nieskończoności są większe od innych. Pokażemy to zjawisko na przykładzie słynnego „Hotelu Hilberta”.

W hotelu znajduje się nieskończona ilość pokojów, ponumerowanych 1,2,3,4,… i wszystkie pokoje są zajęte. Jak znaleźć miejsce dla kolejnego, nowego gościa?
Oczywiście wystarczy, że gość z pokoju 1 zostanie przeniesiony do pokoju 2, gość z pokoju 2 do pokoju 3 i tak dalej. Wówczas pokój 1 zostanie zwolniony.
Wyobraźmy sobie teraz wypełniony autokar z nieskończoną liczbą miejsc, ponumerowanych 1,2,3… Czy da się znaleźć wolne pokoje dla wszystkich bez wyjątku pasażerów?
Naturalnie. Tym razem manager musi przenieść gości do pokojów o numerze dwa razy większym. Dzięki czemu zajęte zostaną pokoje 2,4,6,8,…, a zwolnią się pokoje o numerach nieparzystych.
A co trzeba zrobić, gdy pod hotel Hilberta podjedzie nieskończenie wiele autokarów z nieskończoną liczbą miejsc?
Uwierzcie mi na słowo, że rozwiązaniem tego problemu jest metoda przekątniowa.

Powyższe rozumowanie doprowadziło do niesamowitych wniosków, kłócących się z intuicją. Cantor dowiódł, że dodatnich ułamków (liczb postaci p/q dla dodatnich i całkowitych p i q) jest tyle samo co liczb naturalnych (1,2,3,4…).

To nie koniec zaskakujących rzeczy. Istnieje większa moc zbioru niż

jk .
Uzasadnienie przypomina trochę dowód Euklidesa na nieskończoność liczb pierwszych i wykorzystuje metodę przekątniową. Nieprzeliczalna nieskończoność nazywa się c i jest to moc zbioru, zawierającego wszystkie liczby rzeczywiste między 0 i 1.

Po odkryciu c Cantor udowodnił, że istnieją jeszcze większe nieskończoności. Za pomocą teorii zbiorów można wykazać , że d jest większe od c, gdzie d to liczba wszystkich możliwych prostych i krzywych, jakie można narysować na dwuwymiarowej powierzchni.

Temat nieskończoności wydaje się paradoksalny, ale także fascynujący! Jednak aby go zrozumieć, musicie wyjść poza granice swojej wyobraźni.

„Matematyka: przyłapywanie nieskończoności na gorącym uczynku.”
Stefan Napierski

Justyna Merta

Matematyka w obiektywie

Bywają konkursy matematyczne, na których nie trzeba liczyć i rozwiązywać zadań. Wystarczy tylko spojrzeć na matematykę oczyma wyobraźni.
W tym roku odbyła się V edycja  Międzynarodowego Konkursu Fotograficznego „MATEMATYKA W OBIEKTYWIE”, pod patronatem Uniwersytetu Szczecińskiego.  Celem konkursu jest zainteresowanie uczestników różnymi obliczami Królowej Nauk.
Tegoroczna edycja cieszyła się dużą popularnością, ponieważ nadesłano ponad 4600 prac z całego świata. Mimo, że dla mnie konkurs zakończył się bez większych sukcesów, chciałabym (chociaż w części) podzielić się z Wami moim zgłoszeniem.

 

„WODNA SINUSOIDA”

Wodna sinusoida

„Zdjęcie zostało wykonane w Ogrodzie Zoologicznym we Wrocławiu. Dla zwykłych śmiertelników, na pierwszy rzut oka, fotografia przedstawia szarą fokę. Dla biologa jest to kotik afrykański, pływający w H2O. Natomiast dla nas, pasjonatów matematyki, piękny (i żywy!) wykres funkcji sinus, o okresie podstawowym 2π!! Wystarczył ułamek sekundy, dobry refleks i jedno kliknięcie, aby zdobyć kolejny dowód na obecność matematyki w otaczającym nas świecie. Kto by pomyślał, że tor ruchu zwierząt jest wzorowany na funkcjach trygonometrycznych? Czy to nie intrygujące? Dla foki jest to naturalny  sposób poruszania się (czyt. Prawdziwa matematyka życia!). Bardzo często mówimy, że coś zmienia się sinusoidalnie. Nie bójmy się także sinusoidy zobaczyć…”

 

„KING’ S PARABOLE”

King's Parabole

„King’s College Chapel to obowiązkowy punkt program wizyty w Cambridge. Zapierająca dech w piersiach architektura to wspaniały projekt, trwający blisko 100 lat. Inicjatorem budowy kaplicy kolegialnej był król Henryk VI, która została zakończona przez Henryka VIII. Dzięki nim, możemy dziś podziwiać imponujący sufit, zawieszony 24 metry nad ziemią! Cała konstrukcja opiera się na łuku parabolicznym. Dzięki temu, że parabola jest zbiorem punktów równoodległych od prostej i punktu, budowla jest stabilna. Dlatego też krzywa stożkowa została doceniona szczególnie w okresie gotyku angielskiego. Nic więc dziwnego, że kaplica King’s College jest jedną w wizytówek Cambridge. W końcu tytuł „największego na świecie sklepienia wachlarzowego” zobowiązuje.”

 

„ASYMPTOTA PIONOWA”

Asymptota pionowa

„Podwójna zagadka: Swoją długą, cętkowaną szyją, przypomina przerywaną linię, którą rysujemy na układzie współrzędnych. Giętkim językiem chce sięgać coraz dalej, coraz wyżej, jak prosta dążąca do nieskończoności. PODPOWIEDŹ: żyrafa pionowa, asymptota siatkowana. Czy znasz już odpowiedź?”

 

 

 

 

 

 

 

 

„OKRĘGI CZASU”

Okręgi czasu

„Czas to jedna z najbardziej wymykających się człowiekowi rzeczy. Nie można go cofnąć, zatrzymać, przyspieszyć ani złapać. Aby poczuć się bezpieczniej postanowiliśmy go przynajmniej kontrolować, co stało się impulsem do wynalezienia zegara. Dziś ze względu na metodę pomiaru, mamy różne rodzaje zegarów: słoneczne, wodne, piaskowe, mechaniczne, elektroniczne, tarczowe, diodowe i wiele innych. Ale czy to nie zadziwiające, że większość z nich ma tarczę w kształcie koła lub okręgu? Oczywiście, że nie, bo przecież koło to figura idealna! Praski zegar astronomiczny w niczym nie odstaje od innych. Co więcej, ten średniowieczny praski orloj podziwiają turyści z całego świata. Dlatego powinniśmy być dumni, bo po raz kolejny matematyka znalazła swoje zastosowanie na tak dużą skalę!”

 

„180°”

KONICA MINOLTA DIGITAL CAMERA

„Jeśli nie jesteś wielkim fanem geometrii, powinieneś wybrać się na spacer po Łazienkach Królewskich w Warszawie. Może zmienisz swoje zdanie, gdy zobaczysz tam „żywą geometrię euklidesową”. A wszystko to za sprawą pawia indyjskiego, który rozkłada swój barwny tren na π radianów! Pawi ogon to najpiękniejszy kąt półpełny, jaki w życiu widziałam… P.S. Koniecznie szukaj samca.”

 

 

 

 

 

Konkurs był fantastyczną przygodą, która zostawia pamiątkę na całe życie. Warto było wziąć udział, gdyż każde takie wydarzenie sprawia, że wychodzimy z niego bogatsi o nowe doświadczenia. Zmieniła się przede wszystkim perspektywa patrzenia na świat. Teraz można zobaczyć „więcej”. I tego Wam życzę.
Rozejrzyjcie się wokół siebie i spróbujcie dostrzec matematykę! Dajcie znać, jak Wam idzie! 🙂

 

P.S. Zostawiam Was z problemem „kajdanek”i  jednocześnie zajawką następnego artykułu!

za

źródło: „I Ty zostaniesz matematykiem” David Wells

 

 

 

Czy jest możliwe uwolnienie jednej z pętli elastycznej bryły, jaką są „kajdanki”?
Odpowiedź uzasadnij.

 

 

„Energią napędową inwencji matematycznej nie jest rozumowanie, ale wyobraźnia.”

Agustus de Morgan

Justyna Merta

Tajemnice liczby π

Nie ma nieciekawych liczb. Jednak na liście faworytów plasują się zazwyczaj wciąż te same : π, e oraz i. Najsławniejszą z nich jest zdecydowanie π – bohaterka dzisiejszego artykułu.

Na początek ustalmy, czym jest właściwie liczba π . (Chyba nikt z Was nie pomyślał o 3,14?)
Wartość liczbowa π  to 3,14159…, ale taka informacja niewiele wnosi. π  to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Jest to zawsze ta sama liczba dla każdego koła, niezależnie od jego wielkości.
Oznaczenie symbolu π (greckiej litery, prawdopodobnie skrótu od słowa „obwód”) wprowadził William Jones dopiero w 1706 roku, a spopularyzował Leonhard Euler w swoich pracach.

Najstarsze przybliżenia π ustalili Babilończycy (3,125) i Egipcjanie (3,160). Natomiast do błyskotliwego sposobu uchwycenia liczby π (metody aproksymacji) doszedł człowiek, który wziął najsłynniejszą kąpiel na świecie, czyli Archimedes.

750px-Archimedes_pi.svgŹródło: wikipedia.pl

 

 

 

 

Archimedes narysował najpierw koło, a następnie skonstruował 2 sześciokąty- jeden dopasowany do wewnątrz koła, a drugi na zewnątrz. Niech średnica koła wynosi 1. Wówczas połowa obwodu sześciokąta wewnętrznego wynosi 3. Wielkość ta jest mniejsza od połowy obwodu koła, równej π, która z kolei jest mniejsza od połowy obwodu sześciokąta zewnętrznego, czyli 2V3 (sprawdź to!). Takie szacowanie umiejscawia nam π w przedziale 3 a 3,46.
Archimedes zaczął od sześciokąta i konsekwentnie zwiększał liczbę boków do 12, 24, 48, by zakończyć na 96. Pozwoliło mu udowodnić, że:

Bez tytułu

 

 

 

 

Przekłada się to na 3,14084 <π  < 3,14289, co daje dokładność do 2 miejsc po przecinku.
Urok przedstawionego tu obliczenia polega na rachunku nieskończoności. W granicy, gdy liczba boków wielokąta staje się nieskończona, dostajemy coraz dokładniejsze szacowania.
Poszukiwacze π nie mieli jednak zamiaru na tym poprzestać. Ludolph van Ceulen wykorzystał wielokąt o 60∙ 2^69 bokach, by wyznaczyć π  do 20 miejsc po przecinku. Silne pragnienie spowodowało, że później obliczył π do 32, a następnie do 35 cyfr po przecinku, które wyryto na jego nagrobku. W Niemczech liczbę  nazywa się die Ludolphsche Zahl, czyli ludolfiną.
W kolejnych latach rozpoczął się prawdziwy wyścig i bicie rekordów w obliczaniu liczby π. Metodę wielokątów zastąpiono szeregami nieskończonymi, kalkulatorami, metodą Buffona, a później komputerami. Były to spore osiągnięcia, ale zupełnie bezużyteczne. Nie chodziło jednak o zastosowania praktyczne, tylko o samą pogoń za cyframi. Obecny rekord (2011 rok) to ponad 10 bilionów cyfr po przecinku.

Jedno wiemy na pewno. Nigdy nie poznamy wszystkich cyfr. W 1767 roku matematyk Johann Heinrich Lambert udowodnił, że π  jest niewymierne. Nie ma zatem żadnej oczywistej prawidłowości w odkrywaniu kolejnych cyfr liczby π. Pojawiają się one w sposób przesądzony z góry, ale chaotyczny. Niemniej jednak zaobserwowano kilka zaskakujących faktów! Pierwsze 0 pojawia się dopiero na 32. miejscu. Pierwsze 6 powtórzonych kolejno cyfr to 999999 na 762. miejscu po przecinku. Następna szóstkach identycznych cyfr występuje na 193 034. miejscu  i znowu są to dziewiątki. Prawdopodobieństwo takich wystąpienia  przy rozkładzie losowym jest naprawdę bardzo małe.
Mimo wszystko π wydaje się być normalną liczbą. A przynajmniej wskazują na to statystyki, dotyczące pierwszych 200 miliardów cyfr, z których wynika, że każda cyfra pojawia się ze zbliżoną częstością.
Kolejny kamieniem milowym był dowód Ferdinanda von Lindemann o przestępności π . (Liczba przestępna to liczba niewymierna, której nie da się opisać równaniem o skończonej liczbie wyrazów.) Rozstrzygnięto w ten sposób jeden z problemów delijskich. Kwadratura koła polega na skonstruowaniu (przy użyciu wyłącznie  cyrkla i linijki) kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Z faktu, że  również jest przestępne wynika, że kwadratura koła jest niemożliwa. (Dlaczego?)

Liczba π awansowała do rangi symbolu kulturowego. Dnia 14 marca wiele amerykańskich i polskich szkół obchodzi Dzień Liczby Pi.
Jej rozwinięcie to doskonały materiał ćwiczeniowy z zapamiętywania. Obecny rekord świata należy do 60-letniego Akiry Haraguchiego, który wyrecytował π do 100 000 cyfr po przecinku. Występ trwał 16 godzin i 28 minut i obejmował pięciominutowe przerwy co dwie godziny. Akira posłużył się metodą mnemotechniki, która polega na reprezentowaniu cyfr przez słowa o określonej liczbie liter. Poprzeczkę podniósł Mats Bergsten, który wyrecytował 9778 cyfr, żonglując jednocześnie trzema piłeczkami.
Obecność  można zaobserwować także w literaturze. Nawet nasza noblistka Wisława Szymborska poświęciła jej swój wiersz, zatytułowany „Liczba Pi”. Bardzo popularne są również „pi-ematy”, pisane z formalnym wymogiem , aby liczba liter w słowach odpowiadała cyfrom rozwinięcia dziesiętnego π. Żadna inna liczba nie doczekała się własnego gatunku literackiego!
Liczbę π  zobaczymy także na wielkim ekranie w filmie Darrena Aronofsky’ego- „Pi”.
Co więcej, w Internecie możecie sprawdzić, gdzie w rozwinięciu dziesiętnym liczby π występuje Wasza data urodzin.

Na temat  można by powiedzieć wiele, a jeszcze więcej zostało do odkrycia! Kto wie, może po 10^20 cyfr rzeczywiście są same zera i jedynki?

 

Justyna Merta

Magia liczb Fibonacciego

Czas na kolejną porcję naszej ukochanej matematyki. Dzisiejszy artykuł powinien przypaść do gustu biologom, ponieważ zajrzymy do świata roślin i zwierząt.
W dziele pt. „Liber Abaci” z 1202r. Leonardo z Pizy zamieścił takie oto zadanie:
Ile par królików może sprowadzić na świat jedna para w ciągu roku, jeśli: 1) każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, a ta nowa para staje się płodna w następnym miesiącu; 2) króliki nie zdychają?

Continue reading

Nieznana rzecz

Na rozgrzewkę mam do Was małe pytanie:

Obraz1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie bójcie się. Nie poproszę Was o podanie rozwiązania (chociaż chętnym nie zabraniam!). Zagadnienie jest trochę innej kategorii, mianowicie- co łączy powyższe trzy równania?

Oczywiście!!!  Niewiadoma x, której poświęcę dzisiejszy artykuł.

Czy zastanawialiście się kiedyś, dlaczego w większości zadań szukamy „x”? Czy oznaczenie niewiadomej przez „x” w problemach i zadaniach tekstowych nie stało się już dla nas odruchem warunkowym?

Sięgnijmy więc do historii lingwistyki.
Język arabski, należący do rodziny języków semickich, zapisywany jest alfabetem arabski, od strony prawej do lewej. Przez niektórych uważany za trudny, jednak jego nieoczywistym urokiem jest logika. Każde słowo jest niezwykle precyzyjne i dostarcza dużo informacji. Dlatego to właśnie Arabowie i Persowie opracowali matematykę w pierwszych wiekach naszej ery.
Słowo ALGEBRA pochodzi od arabskiego „al-dżebr”, a jako dział matematyki pierwotnie zajmowała się rozwiązywaniem równań.
Arabskie teksty zawierające mądrości matematyczne dotarły do Europy w XI i XII wieku. Wówczas pojawił się wielki problem w przetłumaczeniu ich na język europejski. Przeszkodą nie do pokonania okazały się niektóre arabskie dźwięki, których Europejczycy nie są w stanie wymówić bez długotrwałego treningu. Co więcej tych dźwięków nie da się przedstawić za pomocą dostępnych nam znaków.
Jednym z głównych sprawców całego zamieszania jest litera  ش, odpowiednik polskiego dwuznaku „sz”.
Cały sęk w tym, że jest ona także pierwszą litera słowa   شيء, co na nasz język tłumaczymy jako „konkretna nieznana rzecz”. Słowo to pojawiło się we wczesnej matematyce.
Zadaniem średniowiecznych uczonych z Hiszpanii było przetłumaczenie starożytnych zapisków. I tu pojawił się problem. Bowiem w języku hiszpańskim „sz” nie istnieje! Chcąc, nie chcąc musieli sobie jakoś z tym poradzić. Badacze mieli do wybory dwa wyjścia: dodać „sz” do swojego alfabetu albo zapożyczyć dźwięk. Zdecydowali się na drugą opcję i wykorzystali brzmienie dwudziestej drugiej litery alfabetu greckiego- Chi. W późniejszych latach, gdy materiał został przetłumaczony na powszechną łacinę, zamieniono „Chi” na dwudziestą czwarta literę alfabetu łacińskiego, czyli X.
Taki zaś symbol niewiadomej stosujemy w naukach ścisłych niezmiennie do dnia dzisiejszego.

Na sam koniec chciałabym podzielić się z Wami jednym z moich ulubionych cytatów:

I NIGDY O TYM NIE ZAPOMINAJMY!!!

Justyna Merta

Genialni Lwowianie

Matematyka często uchodzi za przedmiot trudny, niepotrzebny, nudny, a chwalenie się problemami w szkole stało się wręcz modne. Dlatego właśnie powstał Kącik Ścisłowca- miejsce, w którym będę przełamywać stereotypy i odkrywać piękno matematyki.

Jak mawiał polski matematyk Stefan Banach: „„Matematyka jest najpiękniejszym i najpotężniejszym tworem ducha ludzkiego.”

Stefan Banach jest uznawany za jednego z najwybitniejszych Polaków, stawiany na równi obok Marii Skłodowskiej- Curie i Mikołaja Kopernika. Każdy z nas zna koncepcję heliocentryzmu czy odkrycia radiochemiczne noblistki. Dlaczego więc większość ludzi słysząc nazwisko Banach, otwiera szeroko oczy ze zdziwienia?

Continue reading

Dowody i dowodziki

          Zadanie „Wykaż, że…” na sprawdzianie, przyprawia większość uczniów o zawroty głowy. Pozostali udają, że takiego w ogóle nie ma. Trudno się dziwić. Dowodzenie twierdzeń to jedna z trudniejszych do opanowania umiejętność, wymagająca wieloletniej praktyki i tysięcy rozwiązanych zadań. Problemy matematyczne od zawsze fascynowały matematyków. Ale zacznijmy od początku… Aksjomat to zdanie, które jest przyjmowane bez dowodu, zwykle dlatego, że jest oczywiste. Euklides
z pięciu podstawowych aksjomatów zdołał stworzyć imponujący zbiór twierdzeń nie do podważenia. Płynnie przechodząc od jednego twierdzenia do drugiego, korzystając tylko z ołówka, linijki i cyrkla, ukazywał piękno i porządek w matematyce. Wszystkie 465 twierdzeń podsumowujących całą ówczesną wiedzę Greków zawarł w swoim arcydziele zatytułowanym „Elementy”. W 430 r. p.n.e., kiedy Ateny dotknęła epidemia Grecy udali się do wyroczni w Delos i otrzymali poradę, aby podwoić wielkość ołtarza Apollina, mającego kształt sześcianu. Szybko się jednak zorientowali, że nie da skonstruować sześcianu o dwukrotnie większej objętości niż dany sześcian, mając do dyspozycji tylko cyrkiel i linijkę. Zagadka ta jest jednym z trzech klasycznych problemów starożytności, znanych pod nazwą problemy delijskie, których nie da się rozwiązać za pomocą przyborów Euklidesa.
Drugim jest kwadratura koła, czyli konstrukcja kwadratu o takiej samej powierzchni jak dane koło oraz trysekcja kąta, czyli podział kąta na trzy równe części. Udowodnienie tego twierdzenia zajęło matematykom ponad 350 lat. Mowa oczywiście o Wielkim Twierdzeniu Fermata, które brzmi następująco: dla liczby naturalnej nie istnieją takie dodatnie liczby naturalne a,b, c, które spełniałyby równanie
a^(n )+ b^n= c^n. (Zauważmy, że dla n=2 równanie ma swoją nazwę. Jaką? )
XVII-wieczny matematyk francuski Pierre de Fermat zapisał owe twierdzenie na marginesie książki „Arithmetica” Diofantosa, opatrując uwagą: „ Znalazłem istotnie zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale brak tu miejsca, aby go umieścić”. Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w 1994 roku. Była to jedna z największych sensacji naukowych XX wieku.
Proszę się jednak nie obawiać. W dzisiejszych czasach nadal jest jeszcze wiele do udowodnienia. Największe zagadki matematyki stanowią siedem problemów milenijnych, ogłoszonych 24 maja 2000 roku przez Instytut Matematyczny Claya
w USA. Za rozwiązanie każdego z nich wyznaczona jest nagroda- skromne milion dolarów. Wszystkie niezwykle ważne dla współczesnej matematyki. Do dziś rozwiązano tylko jeden problem. Prawdziwość hipotezy Poincarégo, po ponad stuletnich zmaganiach, potwierdził w 2006 roku Grigorij Jakowlewicz Perelman. Rosyjski matematyk został laureatem medalu Fieldsa (odpowiednik nagrody Nobla dla matematyków), później przyznano mu jedną z siedmiu Nagród Tysiąclecia. Jednak Perelman odmówił przyjęcia nagród i zniknął ze sceny naukowej. Wydarzenia te, owiane tajemnicą i fakt, że matematycy często poświęcali całe życie, aby rozwikłać hipotezę Poincarégo, sprawiły, że nazywana jest przeklętą. Jednakże największym osiągnięciem nauki XX wieku jest twierdzenie Gödel’a, które brzmi: „Całej prawdy nigdy nie poznacie”. Kurt Gödel podał dowód twierdzenia, że matematyka jest niezupełna. Oznacza to, że istnieją problemy matematyczne, których nikt nigdy nie udowodni. Jest jeszcze gorzej. Dopóki nie obalimy lub nie udowodnimy słuszności danego twierdzenia, nie mamy pewności, że jest to w ogóle możliwe. I nic nie możemy na to poradzić.

Justyna Merta