Mniejsze i większe nieskończoności

Nieskończoność to jedno z najbardziej obezwładniających pojęć w matematyce, uderzające w poczucie naszego zdrowego rozsądku. Najpopularniejszy symbol nieskończoności (inaczej lemniskata), został wprowadzony przez Johna Wallisa w 1655 roku.

Nieskończoność zawiera wiele zagadek. Jedną z nich jest paradoks Galileusza. Galileusz zauważył, że wśród liczb naturalnych są liczby będące kwadratami , jak 1,4,9,16 oraz te, które kwadratami nie są, czyli 2,3,5,6. Zatem zbiór liczb naturalnych musi być większy niż zbiór kwadratów. Mimo to, każdej liczbie naturalnie możemy przypisać jej kwadrat:

Bez tytułu

Stąd, w rzeczywistości jest tyle samo kwadratów, ile liczb. Zbiory te są równoliczne. A to prowadzi do sprzeczności z wcześniejszymi rozważaniami.

Najdziwniejsze aspekty nieskończoności ujawniły się w drugiej połowie XIX wieku dzięki badaniom Georga Cantora nad teorią zbiorów. Moc zbioru to liczba elementów danej kolekcji liczb. Cantor wprowadził nowy symbol na oznaczenie nieskończoności   jk
(alef zero) i powiedział, że taka jest moc zbioru liczb naturalnych. Ku powszechnemu zdziwieniu odkrył, że niektóre nieskończoności są większe od innych. Pokażemy to zjawisko na przykładzie słynnego „Hotelu Hilberta”.

W hotelu znajduje się nieskończona ilość pokojów, ponumerowanych 1,2,3,4,… i wszystkie pokoje są zajęte. Jak znaleźć miejsce dla kolejnego, nowego gościa?
Oczywiście wystarczy, że gość z pokoju 1 zostanie przeniesiony do pokoju 2, gość z pokoju 2 do pokoju 3 i tak dalej. Wówczas pokój 1 zostanie zwolniony.
Wyobraźmy sobie teraz wypełniony autokar z nieskończoną liczbą miejsc, ponumerowanych 1,2,3… Czy da się znaleźć wolne pokoje dla wszystkich bez wyjątku pasażerów?
Naturalnie. Tym razem manager musi przenieść gości do pokojów o numerze dwa razy większym. Dzięki czemu zajęte zostaną pokoje 2,4,6,8,…, a zwolnią się pokoje o numerach nieparzystych.
A co trzeba zrobić, gdy pod hotel Hilberta podjedzie nieskończenie wiele autokarów z nieskończoną liczbą miejsc?
Uwierzcie mi na słowo, że rozwiązaniem tego problemu jest metoda przekątniowa.

Powyższe rozumowanie doprowadziło do niesamowitych wniosków, kłócących się z intuicją. Cantor dowiódł, że dodatnich ułamków (liczb postaci p/q dla dodatnich i całkowitych p i q) jest tyle samo co liczb naturalnych (1,2,3,4…).

To nie koniec zaskakujących rzeczy. Istnieje większa moc zbioru niż

jk .
Uzasadnienie przypomina trochę dowód Euklidesa na nieskończoność liczb pierwszych i wykorzystuje metodę przekątniową. Nieprzeliczalna nieskończoność nazywa się c i jest to moc zbioru, zawierającego wszystkie liczby rzeczywiste między 0 i 1.

Po odkryciu c Cantor udowodnił, że istnieją jeszcze większe nieskończoności. Za pomocą teorii zbiorów można wykazać , że d jest większe od c, gdzie d to liczba wszystkich możliwych prostych i krzywych, jakie można narysować na dwuwymiarowej powierzchni.

Temat nieskończoności wydaje się paradoksalny, ale także fascynujący! Jednak aby go zrozumieć, musicie wyjść poza granice swojej wyobraźni.

„Matematyka: przyłapywanie nieskończoności na gorącym uczynku.”
Stefan Napierski

Justyna Merta

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *